El siglo de la Fraternidad 3 -La naturaleza de lo natural 2 parte

Nota: Para los que vienen siguiendo el desarrollo del Libro "El Siglo de la Fraternidad" 1, 2a, 2b, y 3a como ada e ido, Augusto, Juán y otros, les digo que no teman a la matemática y traten de seguir este post, al final creo que hay algo interesante.
Desde ya gracias seguirnos

Ley constructal

Mi paso por la facultad de ingeniería estuvo marcado por la lógica de la dictadura militar.

En esos tiempos de sangre y plomo existían exámenes de ingreso y había cupos en las universidades del estado Argentino. También había limitaciones de circulación, agremiación y por supuesto de expresión. En el caso de la Universidad Tecnológica Nacional, el formato por el que los militares optado paralos planes de estudio de las carreras de ingeniería no escapaba a esta lógica de restricciones y esquematizaciones y lo resolvieron de la siguiente manera: dos años de ciencias básicas, un años de ciencias básicas de la ingeniería y tres años de especialización.

Por eso de los cupos comencé a cursar ingeniería en la especialidad “química”, que trata esencialmente sobre la termodinámica de los diferentes procesos en donde se intercambia energía en forma de calor. Lo de “química” viene porque en las reacciones que dan lugar a estos procesos producen cambios químicos en la materia. Un buen ingeniero químico, en consecuencia, se debía, y se debe centrar en el estudio de los procesos termodinámica de los sistemas. Es también desde esa lógica que no puede haber un buen ingeniero químico que no sepa termodinámica, la termodinámica era, y lo sigue siendo, el core de la ingeniería química. Para nosotros las leyes de la termodinámica se trasformaron con el tiempo en una religión, fe que en mundo real solo podían profesar los ingenieros, ya que todos los otros se ocupaban de otras cosas.

En la búsqueda de un soporte que explicara lo común en la gran diversidad de distribuciones que responden a las diferentes Power Laws PZM, tan frecuentes en la naturaleza, y como bien solicitara Winiwarter, es que llegamos a una novel teoría sobre procesos mecánicos en donde intervienen flujos, llamada: Teoría Constructal, desarrollada por el ingeniero rumano-americano Adrian Bejan.

Hasta Bejan la termodinámica clásica había obviado preocuparse por las formas o por las estructuras en donde se llevaban a cabo esas transformaciones. Que se cumplieran las leyes era suficiente para el estudio bárbaro de la ingeniería termodinámica, era de esta forma que también cumplíamos con las cuestiones de fe. A partir de la post modernidad, parecería que esa ingeniería tosca se hubiere convertido en una ingeniería “fashion”, en donde el diseño ahora importa. Este punto desde siempre trajo mutuas bromas entre arquitectos e ingenieros. Los primeros se quejaban de los segundos de no respetar ni siquiera las mas mínimas de las normas de diseño y del arte, los segundo caricaturizaban a los primeros con el clásico chiste de que si tuviesen que diseñar una represa hídrica, la harían pero dejando ventanas en sus paredes para que quede mas bonita. De hecho la carrera de diseño industrial estuvo prohibida durante la dictadura y hoy es una carrera con una gran matricula, incluso mucho mayor que la de muchas ramas de la ingeniería.

Cuando la discusión entre arquitectos e ingenieros sobre el diseño aplicado a los productos y procesos típicos de la ingeniería parecía insalvable, aparece Adrián Bejan con su teoría constructal tratando de mediar en el conflicto.

Por las dudas Bejan toma sus recaudos para no herir susceptibilidades cuando dice:

“Es importante reconocer que la ley constructal es diferente a (es decir, complementaria a) las demás leyes de la termodinámica. La ley constructal fue propuesta como adicional a las leyes de la termodinámica.[…]La primera ley establece que la energía del sistema permanece constante. La segunda ley da cuenta que: para las observaciones que se describen como una tendencia en el tiempo, cuando los cambios que se producen en el interior de los sistemas, todos los flujos actúan de una misma y única manera, de mayor a menor. Analíticamente, esta tendencia denota que la entropía del sistema aumenta durante cada cambio.”

“La primera y segunda ley hablan de una caja negro, sin geometría. No dicen nada acerca de las configuraciones (los dibujos, los mapas, las rutas) de las cosas que fluyen.”[…]“La generación de la configuración del flujo es un fenómeno totalmente diferente de la física, que no está representado ni por la primera ni por la segunda ley. La secuencia temporal de los dibujos que el sistema de flujo exhibe a medida que evoluciona, es el fenómeno cubierto por la ley constructal.”

Esta es su definición:

“El fenómeno nuevo es de cómo cada cosa adquiere arquitectura en la dirección del tiempo: las configuraciones existentes sobreviven cuando su cambio en el tiempo se hace hacia configuraciones de flujo más fácil (la ley constructal).”

“La ley constructal también establece que si el sistema cambia su morfología libremente, entonces va a evolucionar, (por ejemplo, como una secuencia constante de estados), tal que su configuración se desarrolle y que sus corrientes fluyan más y más fácilmente. ¿Qué cambia en las propiedades y en los flujos del sistema de una configuración a otra? Depende de lo que está fijo, por ejemplo: lo que impulsa los flujos a través del sistema. En cualquier caso, fluir más y más fácil quiere decir que a nivel global la configuración del sistema posee cada vez menos y menos resistencia, y que la tasa de generación de entropía tiende en una sola dirección: hacia abajo o arriba, dependiendo de qué tipo de forzamiento se fija"

"Todos los ejemplos, desde la alometría los animales a leyes de escala geofísicas, obedecen a lo conocidos y aceptados principios de la física. El hecho de que todos ellos exhiban "desdideño" es el "algo más", que no está cubierto por los conocidos y aceptados principios."

El tamaño de las ciudades y todas las distribuciones PZM se originan en la evolución de un diseño multiescala de los sistemas de flujo que conectan un punto con un área o un punto con un volumen, por lo que si tenemos una distribución de Zipf de el uso de palabras en una lengua debe tener que ver con el modo en que la información fluye entre un punto y un área o un punto y un volumen y en esto tiene que ver la otra distribución de este tipo, la de Dunbar, donde los flujos de información provenientes del neocortex del cerebro se dirigen hacia la comunidad. La información, ya sea por impulsos electroquímicos, como por el habla es el flujo en cuestión que deberá evolucionar hacia formas mas permeable para que ese flujo de información se haga mas fluido y que las formas de la comunicación de la información adquieran cada vez menos y menos resistencia a su paso.

Vale la pena detenerse en esto por un momento, Bejan establece básicamente dos entidades: un punto y un volumen o superficie, uno fijo o moviendose relativamente al otro, el fluido debe viajar en un sentido y si el volumen o la superficie que debe atravesar es lo suficientemente versátil como para que permita su deformación en el tiempo, la evolución de la forma de este volumen (superficie) será en el sentido que facilite al fluido fluir con mayor facilidad. Hay que aclarar que esta ley se cumple no solo para los procesos termodinámicos sino para todos los procesos en donde intervenga un cuerpo (superficie) y un flujo que lo atraviese.
Las redes, en este sentido, pueden representar los volúmenes o las superficies en cuestión y pueden actuar de dos maneras. Como punto hacia el exterior, cuando intercambia materia y energía con el medio y hacia adentro de la red cuando un nodo emite un mensaje y lo quiere propalar a toda la red. En este último caso la circulación del flujo es interno a la red.

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Hacer ya un tiempo recurrimos a nuestra amiga, la Dra. en matemáticas María Alejandra Rodriguez Hertz, para tratar de que nos hable sobre los procesos ergódicos. Jana es una especialista en el tema y ha puesto a disposición del público lego una esclarecedora página web en donde describe este proceso para el consumo del público masivo que se puede consultar acá: ttp://www.corodebabel.com.ar/Sistemas-Dinamicos-Caoticos/ergodicidad-sistemas-dinamicos-y-otras-yerbas-primera-parte.html

La ergodicidad trata sobre la capacidad que tienen los fluidos de ocupar todo un volumen. Generalizado: si se proyecta un fluido al seno de un líquido (un volumen, una superficie), este se dispersará en todas las direcciones hasta llegar a ocupar el volumen (superficie) completo, si esto ocurre decimos que el proceso es ergódico. En una red un proceso ergódico sería aquel que permita que la información llegue a todos sus componentes con la misma probabilidad.

En su trabajo Jana da un primer ejemplo en donde utiliza la preparación de un “Negroni ergódico sin hielo” para ilustrar el proceso de difusión del Campari en el seno del Gin y del Martini y de cómo actúa para que: "Al cabo de un período suficientemente largo de tiempo, la mayoría de las partículas se pueden encontrar en cualquier parte del espacio de fases con igual probabilidad". De esta forma Boltzmann formula su famosa Hipótesis Ergódica (HE)

En una red un sistema ergódico sería aquel que permite que la información circule por o a través todos los nodos, de toda la red; aquel donde el rastro que va dejando la información, a medida que circula, mancha a todos y cada unos de los nodos con igual probabilidad.

Sin embargo Jana no nos habla de la forma que adquiere el Campari a medida que se va diluyendo en el seno del trago, de hecho en el video que presenta, la inyección del líquido oscuro, que se va introduciendo dentro del vaso de a pequeños golpecitos de jeringa, adquiere formas de hermosos fractales. Pero claro a ni a ella ni a Boltzmann, parece importarles eso, ellos están preocupados con que el líquido ciertamente llegue a todo el volumen. Pero para Adrián Bejan esto no da cuenta de lo mismo

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Entre los ejemplos de distribuciones PZM que dábamos mas arriba (parte 1), citábamos a ley de Kleiber que establece la relación que hay entre el ritmo metabólico q₀ y la masa corporal M elevada a la potencia ^3/4 para cualquier animal, incluidos los pequeños organismos. De esta ley se desprende la alometría que establece las posibilidades de crecer que tienen los cuerpos vivos sin que el crecimiento afecte su metabolismo. A este fenómeno hacíamos referencia nosotros en el capítulo De hormigueros, bandadas, metrónomos y los problemas de una Reina Roja - Segunda parte, cuando veíamos las estrategias evolutivas de las diferentes especies y de cómo los conglomerados, que teniendo que actuar en conjunto, evolucionaban alternativas creativas para poder sobrellevar este problema. La alometría es el estudio de la relación entre forma y tamaño.

Tanto en el trabajo citado más arriba (parte 1) como en este otro, James H. Brown, Geoffrey B.West, Brian Enquist, y otros científicos entre los que se encuentran matemáticos, físico y por supuesto biólogos, establecen una ley de escala, o de escalamiento entre los seres vivos basados en Kleiber. Es en este paper: A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology, los científicos generalizan la idea del escalamiento alométrico de los seres vivos (incluidos los mamíferos) de acuerdo a la siguiente premisa: Los seres vivo se sostienen mediante el transporte de materiales a través de una red lineal que se ramifica para distribuirlos a todas las partes del organismo.

Los investigadores construyeron su modelo en base a tres premisas:

1. Que se necesita un patrón de tipo fractal ramificado, capaz de llenar el espacio para suministrar los fluidos que sustentan la vida a todas las partes del organismo,
2. que la rama final de la red – las nervaduras de los árboles o los capilares del sistema circulatorio – son del mismo tamaño, no importa el tamaño de la “masa corporal” de la especie de la que se trate,
3. y que la energía usada para trasportar los recursos a través del la red tiende a ser minimizada.

Es muy interesante esta enuncianción ya que se asemeja mucho a la Ley constructal que establecía “las configuraciones existentes sobreviven cuando su cambio en el tiempo se hace hacia configuraciones de flujo más fácil (la ley constructal).” O la definición que aparece en Wikipedia que es mas fácil de entender:

Para que un sistema de tamaño finito persista en el tiempo (sobreviva), debe desarrollarse de tal manera que facilite el acceso a las corrientes que lo atraviesan.

La facilidad que representa la definición de Bejan es que es mucho mas general y que no hace la distinción de cómo tienen que ser las punteras del sistema. De todas formas el concepto del fractal conductor que distribuye en todo el espacio (volumen-superficie) es magnífico ya que explica el porqué del sistema circulatorio, del sistema respiratorio y muchos procesos naturales se configuran de este modo.

¿Podríamos conceptuar una red social distribuida de esta manera? De tal forma que un miembro de la red pueda hacer circular un mensaje que llegue a TODA la red cumpliendo la hipótesis ergódica expuesta mas arriba. Para verlo mejor vamos a construir un fractal de este tipo en base al modelo que propone acá:
An Escheresque fractal by Peter Raedschelders

El árbol fractal se definirá por tres parámetros:

1. un largo t ( el largo del tronco)
2. un ángulo theta θ ( el ángulo que forman las ramas con el tronco).
3. una razón r (por la que se establece el largo de la rama en base a una proporción con el tronco.

Todas estos parámetros una vez fijos deben permanecer constante para toda la evolución del fractal.

Se empieza por un segmento (el tronco) de largo t (t>0) que se lo considera como vertical. (Usualmente, consideramos un árbol canónico con un tronco de largo 1.) En la base del tronco está la raíz, en la parte superior fijamos dos ramas, ámbas de largo tr (de largo t o menor que t y mayor que 0).

Cada una de las ramas “forma un ángulo theta θ con la prolongación del tronco”. En el extremo libre de cada una de estas ramas fijamos dos nuevas ramas de largo tr², nuevamente, formando un ángulo theta θ con la extensión lineal de la rama previa. Continuamos de este modo, adicionando a la n^ava posición, 2ⁿ ramas de largo trⁿ.

Un arbol de grado 3 construido

construido con un ángulo theta = 40º y razón r = 0,6

Cuando hacemos la clausura del crecimiento adicionamos puntos límites a los que llamamos punteras. Y al conjunto se los denomina “conjunto de punteras”

Algunas notaciones.

En un árbol binario, el único trayecto desde la raíz a cualquier nodo (final de una rama) se puede enunciar especificando una secuencia de derecha (D) o izquierda (I) en cada caso. Por lo tanto una secuencia tal como DID ni solo localiza el nodo en el árbol, también describe el único trayecto desde la raíz al nodo. Las punteras se señalan mediante el signo infinito ∞, como infinitas secuencias de “D” o de “I” y se denotan así “D^∞” o de “I^∞”

Winiwarter muestra unos ejemplos maravillosos de volúmenes y superficies ocupadas por este tipo de árboles fractales:

Cuenca del Amazonas

Red de agua: Delta de río distribución PZM del tamaño del río

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Ahora hagamos un último ejercicio, consideremos a una red constituida por un árbol fractal binario cuya construcción estuvimos viendo mas arriba. Consideremos que la red es un conglomerado como los del capítulo 2 y que uno de los agentes de la red recibe o percibe algo que debe comunicar a la totalidad de su conglomerado. Digamos que debe avisar de un peligro y que hay que salir disparando.

Hagamos que la red cumpla con lo que postulaba Strogartz:

1. Todos los individuos están pendientes de lo que hacen sus vecinos más cercanos.
2. Todos los individuos tienen una tendencia a alinearse.
3. Todos se acercan a los otros pero manteniendo un distancia mínima entre pares.
4. En caso de peligro, salir huyendo.

Lo que le solicitamos a nuestra red de N agentes es que ponga en funcionamiento el punto 4. Para eso el agente que percibe el peligro primero (consideramos que hay un único agente que percibe el estímulo primero) lo debe comunicar con la mayor velocidad y eficiencia a la totalidad del la red. La condición ergódica es elemental, ya que cualquiera de los que no sea avisado es posible que sea arrasado por el riesgo en cuestión.

Para ello se establece como regla de morada una muy simple: tomando en cuenta la dirección de avance del conglomerado el agente Yo, el agente Ego, situado el tope del tronco emite dos mensajes, uno para el agente que está mas cerca suyo a la derecha y otro para el que tiene mas cerca a su izquierda. De esta forma comienza la construcción de un árbol fractal con origen en él mismo. Los agentes D y L reciben el mensaje y tomando como perspectiva de quién viene, realizan la misma operación repitiendo el procedimiento utilizado por Ego, al repetírselo a DD, DI, ID y a II, y así sucesivamente hasta llegar a los nodos punteras. Fin de los mensajes. Todos los nodos procesan la información y actúan en consecuencia.

Analicemos el caso del dibujo y trabajemos un poco con los números:

Cantidad de nodos
N= 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ = 63

generalizando
N= Σ 2^p con n que va desde 0 a p, siendo p el número de saltos o grados de separación, que hay para llegar a las punteras , lo que es lo mismo que decir

Actualizació: Había un error en el nombre de la constante C

N= Σ2^p+1 – 1 con n que va desde 1 a p

Cantidad de enlaces C = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ = 62
generalizando
C= Σ 2^p con n que va desde 1 a p, lo que es lo mismo que decir
C= Σ2^p+1 – 2
Relación entre ambos
N = C +1

Grado	2 a la n	Cant de nodos	Cant de enlaces reales	Cant de enlaces max	Cant de enlaces min	Observaciones
0	1,00	1	0	0	0
1	2,00	3	2	3	2
2	4,00	7	6	21	6
3	8,00	15	14	105	14
4	16,00	31	30	465	30
4,69	25,81	51	50	1.256	50	Erdos number Red e matemáticos
5	32,00	63	62	1.953	62	Karinthy - 1929
5,5	45,25	90	89	3.961	89	Milgram -1967
6	64,00	127	126	8.001	126
6,21725	74,40	148	147	10.849	147	Número de Dunbar – N = 147,8
6,5	90,51	180	179	16.113	179	Milgran promedio
6,6	97,01	193	192	18.530	192	Microsoft - 2007
6,7	103,97	207	206	21.308	206	Watts -Strogartz 2003
7	128,00	255	254	32.385	254
8	256,00	511	510	130.305	510
9	512,00	1.023	1.022	522.753	1.022

Lo mas sorprendente de nuestro descubrimiento es que cuando en la progresión que hicimos en la planilla de cálculo, al poner el Numero de Dunbar como cantidad de nodos en nuestra árbol binario, nos encontramos que nos daba SEIS GRADOS DE SEPARACIÓN.

Hay que considerar que una pequeña variación en el grado de separación produce una gran fluctuación en el número de componentes del conglomerado.

¿Es posible esto? ¿Podría explicar el rebuscado Número 147,8 del antropólogo Dunbar? Parecería que sí.

En nuestro modelo de conglomerado consideramos relaciones directas de todos con todos, por lo que Ego puede sostener solo 147,8 otros nodos desde un árbol binario, que por otro lado es la manera mas eficiente de llegar desde Ego al conjunto de punteras de árbol. En esa progresión, la velocidad de trasmisión aumenta a la potencia de 2, a medida que se van abriendo las rama. Lo que justificaría el número, ya comprobado por Milgram, Watts – Strogartz, y Microsoft en poblaciones del orden de los miles de millones de agentes participantes. Hay una relación entre el Número de Dunbar y los seis grados de separación de una red personal. También al ser una red Power Law es explicable que el número seis pueda repetirse en escala mayores ya que las Power Laws son redes independientes de la escala. Tesis que queda como propuesta comprobar si en diferentes redes sociales humanas de distinto tamaño el grado típico de separación sigue siendo seis. Por lo pronto para los casos citados sí se está cumpliendo, no se cumple para Internet, o para las redes de los matemáticos ( red de Erdos), pero estas son redes muy especiales.

Solamente queremos terminar enunciando las propiedades que emergen de este tipo de redes independientes de la escala las Scale Free Networks

foto http://hep.ucsb.edu/courses/ph6b_99/0111299sci-scaling.html

1. Las redes de Libres de Escala tienen distribuciones del tipo Power Law.

2. Las redes de Libres de Escala se pueden generar a partir de cierto proceso aleatorio, de los cuales se destaca la agregación por preferencia (opción).

3. Las redes de Libres de Escala están fuertemente conectadas a concentradores (hubs) que las mantienen unidas y les dan robustez aunque fragilidad ante la tolerancia a fallos

4. Las redes de Libres de Escala son genéricas en el sentido que se preservan ante un posible rearmado aleatorio.

5. Las redes de Libres de Escala presentan autosimilitudes.

6. Las redes de Libres de Escala son universales en el sentido de que no dependen de un dominio específico ni del tiempo.

Fuente: Towards a Theory of Scale-Free Graphs: Definition, Properties, and Implications

Lun Li, David Alderson, John C. Doyle, and Walter Willinger

http://www.internetmathematics.org/volumes/2/4/willinger.pdf

Ergodicidad for dummies

Ella es la Dra. en matemáticas María Alejandra Rodriguez Hertz, rosarina de origen pero ahora afincada en Uruguay. Aparte de ser muy linda, Jana es excelente explicando la Hipótesis ergódica, por eso, y pese a no ser acólitos del copy & paste, vamos a hacer exactamente eso: copiar y pegar, ya que no hay que agregarle nada a su explicación. En este espacio además sí se podrán agregar comentarios a su trabajo, cosa que en el original no ocurre.

Este material es crucial para entender el enfoque que da Vega Redondo a este paper del que nos ocupábamos ayer y que Relexiones Siesteras tradujo de este original.

Pero antes veamos esto. En el post de apoyo que citábamos en ese post, Omar Aguilar Novoa dice lo siguiente:

"El concepto de campo y el concepto de sistema forman parte de matrices de distinciones totalmente diferentes. El concepto de campo no puede ser aislado de los de capital, habitus, juego, estrategia, relaciones de fuerza, etc. Al mismo tiempo, el concepto de sistema en Luhmann no puede ser aislado de los de autorreferencia, autopoiesis, complejidad, entorno, contingencia, sentido, etc. A partir de esto se puede constatar que evidentemente hay diferencias notables entre ambas nociones. Sería demasiado fácil indicarlas pues las estrategias teóricas de Luhmann (teoría de sistemas) y de Bourdieu (teoría de campos) son muy diferentes."

Como economista Vega Redondo se situará mas cerca del concepto de capital (social), la teoría de juegos, la estrategia, la concepción de poder. Sin embargo en papers posteriores se aleja de los sistemas deterministas y se acerca al modelo de las redes indeterminadas en donde la emergencia, la autorreferencia, la complejidad, el entorno, la contingencia y por qué no decirlo, también el sentido están presentes.

"los elementos constitutivos de un sistema social son comunicaciones. Un sistema social según Luhmann es un sistema autorreferencial de comunicaciones. Esto significa que las selecciones de posibilidades actualizadas por el sistema son transmitidas mediante la comunicación. Esta actualiza posibilidades gracias a una síntesis de tres selecciones: la selección de un contenido o tema de la comunicación, la selección del acto de notificación, o como se dice a menudo: el acto comunicativo, y finalmente la selección que permite el rechazo o la aceptación de lo comunicado." [...]

"Bourdieu y Luhmann rompen con una vieja tradición en la teoría social, tradición según la cual los hombres eran considerados como los elementos constitutivos de la sociedad. Para ambos sociólogos, esta idea no es sino la expresión de la filosofía del sujeto que caracteriza el pensamiento moderno. Para el sociólogo francés, el individuo no es sino la emanación del campo y es este último el verdadero objeto de la sociología y no los individuos en cuanto tales. Para Luhmann los individuos son sistemas psíquicos que forman parte del ambiente de los sistemas sociales."

Las interacciones comunicacionales entre los agentes son lo que importa, no quien emite o recibe. Por eso se dice que en valor de los seres humanos posmodernos no es su persona, es su capacidad de conexión. Somos conectores mas que persona emisoras-receptora de mensajes. Somos propaladores.

Pero cómo surge este proceso, cómo funciona es lo que estamos tratando de explorar, por lo pronto, como verán mas abajo hay dos escenarios posibles, uno determinista y uno estocástico (aleatorio). En uno hay leyes establecidas que realizan la traza de todo el proceso, en el otro no hay trazabilidad, lo que tenemos es la emergencia, un producto nuevo, creado y recreado infinitamente y cada vez, y que cuya creación no solo es aleatoria sino totalmente gratuita.

Ahora entraremos de lleno en la explicación de Jana que parte justamente haciendo esta aclaración.

Ergodicidad, sistemas dinámicos y otras yerbas

Escrito por Jana Rodriguez Hertz

Fuente acá

En la segunda mitad del siglo XIX, Boltzmann introdujo el término ergódico en el contexto del estudio de las partículas de gas. Concretamente, su problema era estudiar cómo evoluciona un conjunto de partículas de gas en el tiempo según una ley determinada de movimiento, conservando la energía. Este tipo de problema es llamado determinístico, porque se conoce la ley del movimiento de cada partícula. Si nos concentramos en una sola partícula veremos que su movimiento a lo largo del tiempo va dibujando una curva. En un sistema determinístico, cada estado actual determina de forma única todos los estados futuros y pasados.

Esta situación está contrapuesta a los sistemas o procesos estocásticos, donde la relación entre cada estado actual y sus estados futuros o pasados es aleatoria. En un proceso estocástico las leyes de causa-efecto no están determinadas de forma única, sino que para cada estado actual hay una probabilidad de estado futuro o pasado.

Ejemplos de procesos estocásticos son la variación de ciertos precios en el mercado, la evolución del índice de la bolsa segundo a segundo, las señales de telecomunicación, etc.

Nosotros nos concentraremos, por el contrario, en sistemas dinámicos determinísticos, aquellos donde cada estado tiene un futuro y un pasado bien determinado por una ley conocida. Sin embargo, a pesar de lo que pueda parecer intuitivo, el hecho de conocer la ley del movimiento de cada partícula no significa que sea fácil determinar su paradero, y menos en los largos plazos. Veamos un ejemplo.

Negroni ergódico sin hielo

Negroni ergódico sin hielo

- Una parte de gin bien helado

· Una parte de Campari

· Una parte de Martini Rosso Preparar directamente en un vaso Old Fashioned. Primero echar el gin, y luego el Campari y el Martini.

Comenzamos a preparar el Negroni. Queremos rastrear qué pasa con la bebida de color. ¿Cómo evolucionan las partículas de la bebida de color dentro del vaso? Supongamos que empezamos a estudiar el sistema en el instante en que hemos terminado de agregar el Campari y el Martini. En el instante cero, éstas estarán cerca de la superficie, pero a medida que pasa el tiempo, las partículas coloreadas empiezan a recorrer todo el vaso, y luego de un rato ocurre que éstas podrían estar virtualmente en cualquier parte. Algo más o menos así:

Boltzmann creía que esencialmente lo mismo pasa con los gases. Por eso formula su famosa Hipótesis Ergódica (HE):

Al cabo de un período suficientemente largo de tiempo, la mayoría de las partículas se pueden encontrar en cualquier parte del espacio de fases(1) con igual probabilidad

Dicho en otras palabras, según la Hipótesis Ergódica de Boltzmann, si uno observa la evolución de una “mancha visible” en un período largo de tiempo, el "rastro" que ésta deja, es decir, el conjunto de sus todos sus estados,(2) terminan rellenando prácticamente todo el espacio de fases.(1) Decimos prácticamente, porque podría dejar de rellenar un punto, o una curva, o más en general un conjunto de medida cero, que carece de interés desde el punto de vista de un observador. Llamaremos ergódicos a los sistemas que cumplan la Hipótesis Ergódica.

Notemos que en el ejemplo del Negroni la mancha se diluía por todo el vaso. Esta propiedad se llama mixing. Los sistemas donde esto pasa son ergódicos. Sin embargo, un sistema puede ser ergódico sin que ésto pase. El único requisito es que el rastro, u órbita, de cualquier mancha visible termine cubriendo todo el espacio de fases. A continuación, vemos un ejemplo de un sistema dinámico ergódico donde las manchas visibles no se diluyen.

Evolución de una mancha visible Video 1

Evolución del rastro de la mancha Video 2

En este ejemplo, el espacio de las fases es una rosquita, lo que se llama toro bi-dimensional, y la ley del movimiento es una traslación, o sea un desplazamiento, que está marcada en la figura de abajo por las flechitas azules (campo vectorial).

Desplazamiento de un toro bidimensional - Haga click en la imagen para extenderla

El ángulo que forman las flechitas con las "líneas verticales" del toro es irracional, o sea, no se puede escribir como una fracción. Eso es lo que provoca que el rastro de cualquier mancha visible se dsitribuya por todo el toro. Estudiaremos este fenómeno en otra nota.

Sin embargo, hay sistemas no ergódicos. En estos sistemas la evolución del rastro de una mancha visible queda confinada a una región del espacio, que no es todo.

Ejemplo de espacio de fases

Para fijar ideas, podríamos pensar en el espacio de fases como una pista de atletismo dividida en bandas, donde cada atleta corre sin salirse nunca del andanivel que le corresponde.

Podemos construir fácilmente un ejemplo de sistema no ergódico que tenga como espacio de fases(1) el toro bidimensional(3) (x) lo armamos de forma que la ley de movimiento sea a lo largo de las "líneas verticales" del toro. De este modo, todas las órbitas(4) son periódicas.(5)

Evolución de una mancha visible Video 3

Evolución del rastro de la mancha Video 4

En efecto, este movimiento se repite a lo largo del tiempo y para cualquier mancha inicial más o menos pequeña, pero visible, sólo rellena una banda del toro. Si el sistema fuera ergódico el rastro de la mancha terminaría rellenando prácticamente todo. Es, por lo tanto, no ergódico.

Agradecimientos

Quiero agradecer a Marcos Carbajo y a Federico Rodriguez Hertz por ejemplos y sugerencias. Agradezco especialmente a Marcos por su paciente insistencia en que haga esta nota.

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Hasta aquí Jana y su maravillosa explicación, solo nos queda decir que para el caso de una red social que considaráramos como campo y que a su vez cumpliera con la hipótesis ergódica, cada uno de sus integrantes, a su turno y esperando el tiempo suficiente tendrá una probabilidad de que justamente le llegue el turno. En un proceso eródico sí o sí debe sentarse a esperar su chance social ya que como las figuras en que iban dibujando el toro (Video 2) en un punto dado, después de un tiempo, completaban su tarea sin que quede porción del toro sin pintar.

Podemos imaginar los mensajes que circulan por la red como la figura que pinta el toro, tarde o temprano, con alguna probabilidad, el mensaje pasará por todos y cada uno de los miembros de la red y allí sí, tendríamos que retornar al paper de Vega Redondo, claro pero eso en un futuro post.

Actualización 18/002/2008 -21: 30

Mail de Jana

Dear Charlie,

He leído con interés tus 2 últimos posts. Te agradezco la prensa que me has hecho, y sobre todo tus comentarios :). La verdad es que nunca se me ocurrió pensar la ergodicidad aplicada a las redes sociales (los matemáticos solemos replegarnos en nuestras micro-áreas de trabajo). Por lo tanto mi conocimiento sobre eso es prácticamente nulo.

De todos modos, como opinar es gratis, acá va mi aporte: Según entendí en tu artículo De la modernidad a la complejidad, entre otras cosas analizás un paper de Vega Redondo, donde propone una terna de "axiomas" que definirían la dinámica de las redes sociales. Esta dinámica definida por (1)-(3) sería ergódica. Si bien esa dinámica no es del todo "determinística", concuerdo que definida de esa manera una red social quedaría ergódica. Ahora, no sé si concuerdo con la axiomática de Vega Redondo. Es cierto que hay muchas redes sociales que siguen esas 3 pautas (Volatilidad, Búsqueda y Creación de Vínculo, Renovación de vínculos inestables). Un ejemplo de esto es el comportamiento de los menores de 25 en Facebook o redes similares. Ahora, hay otras redes sociales que definitivamente no se mueven así. Es más hay ejemplos de redes sociales que no cumplen ninguna de las 3 pautas, y aún así son de alguna manera "estables".

Un concepto que en dinámica subyace por detrás de la ergodicidad es el concepto de medida. No lo incluí en el artículo para no hacerlo pesado. Creo que el axioma (0) de Vega Redondo es que todos los "nodos" de la red social son equiprobables, o sea, tienen la misma medida. Por eso en (1) y (2) armar y desarmar vínculos son con probabilidad independiente. Eso puede, o puede no ocurrir en una red social. O sea, no estoy diciendo que sea bueno ni malo, simplemente creo que VR propone un modelo de red social y lo estudia, tudo bem. Pero hay redes, que tienen su interés social, económico, afectivo, lo que sea, que no se comportan de esa manera. P. ej. tenés a tu hermano en una red, y por más que no haya un "intercambio" probablemente, mantengas el vínculo.

Bueno, fue un aporte más a la confusión general.

Muy divertido el blog.

De todos modos, estoy a las órdenes para cualquier cosa que pueda ayudar. Me parece un tema super-interesante. No sé a qué llamás sistemas complejos.

Abrazo

Jana

Gracias Jana por tu aporte

Glosario

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· (1) espacio de fases: el conjunto de todos los estados posibles. En el ejemplo del cóctel, el espacio de fases es el conjunto de las posiciones dentro del vaso.

· (2) estado: también se puede llamar fase. Cada una de las posiciones posibles del sistema. En el ejemplo del cóctel, el conjunto de estados de una partícula de Campari es la curva que ésta va describiendo cuando se va moviendo dentro del vaso.

· (3) toro bidimensional: es una rosquita, como en la figura (x). Es una superficie, que se puede construir a partir de un cuadrado, pegando los lados opuestos. En el primer paso se obtendrá un cilindo, y en el segundo, la rosquita.

·(4) órbita: el conjunto de todos los estados que va teniendo un punto a lo largo de su evolución (en el futuro y en el pasado). Es la curva que va dibujando el punto en su evolución de acuerdo a la ley de movimiento.

· (5) periódico: es una órbita que después de un cierto tiempo (período) vuelve a pasar por el mismo lugar.

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* Jana Rodriguez Hertz