Ergodicidad for dummies

Ella es la Dra. en matemáticas María Alejandra Rodriguez Hertz, rosarina de origen pero ahora afincada en Uruguay. Aparte de ser muy linda, Jana es excelente explicando la Hipótesis ergódica, por eso, y pese a no ser acólitos del copy & paste, vamos a hacer exactamente eso: copiar y pegar, ya que no hay que agregarle nada a su explicación. En este espacio además sí se podrán agregar comentarios a su trabajo, cosa que en el original no ocurre.

Este material es crucial para entender el enfoque que da Vega Redondo a este paper del que nos ocupábamos ayer y que Relexiones Siesteras tradujo de este original.

Pero antes veamos esto. En el post de apoyo que citábamos en ese post, Omar Aguilar Novoa dice lo siguiente:

"El concepto de campo y el concepto de sistema forman parte de matrices de distinciones totalmente diferentes. El concepto de campo no puede ser aislado de los de capital, habitus, juego, estrategia, relaciones de fuerza, etc. Al mismo tiempo, el concepto de sistema en Luhmann no puede ser aislado de los de autorreferencia, autopoiesis, complejidad, entorno, contingencia, sentido, etc. A partir de esto se puede constatar que evidentemente hay diferencias notables entre ambas nociones. Sería demasiado fácil indicarlas pues las estrategias teóricas de Luhmann (teoría de sistemas) y de Bourdieu (teoría de campos) son muy diferentes."

Como economista Vega Redondo se situará mas cerca del concepto de capital (social), la teoría de juegos, la estrategia, la concepción de poder. Sin embargo en papers posteriores se aleja de los sistemas deterministas y se acerca al modelo de las redes indeterminadas en donde la emergencia, la autorreferencia, la complejidad, el entorno, la contingencia y por qué no decirlo, también el sentido están presentes.

"los elementos constitutivos de un sistema social son comunicaciones. Un sistema social según Luhmann es un sistema autorreferencial de comunicaciones. Esto significa que las selecciones de posibilidades actualizadas por el sistema son transmitidas mediante la comunicación. Esta actualiza posibilidades gracias a una síntesis de tres selecciones: la selección de un contenido o tema de la comunicación, la selección del acto de notificación, o como se dice a menudo: el acto comunicativo, y finalmente la selección que permite el rechazo o la aceptación de lo comunicado." [...]

"Bourdieu y Luhmann rompen con una vieja tradición en la teoría social, tradición según la cual los hombres eran considerados como los elementos constitutivos de la sociedad. Para ambos sociólogos, esta idea no es sino la expresión de la filosofía del sujeto que caracteriza el pensamiento moderno. Para el sociólogo francés, el individuo no es sino la emanación del campo y es este último el verdadero objeto de la sociología y no los individuos en cuanto tales. Para Luhmann los individuos son sistemas psíquicos que forman parte del ambiente de los sistemas sociales."

Las interacciones comunicacionales entre los agentes son lo que importa, no quien emite o recibe. Por eso se dice que en valor de los seres humanos posmodernos no es su persona, es su capacidad de conexión. Somos conectores mas que persona emisoras-receptora de mensajes. Somos propaladores.

Pero cómo surge este proceso, cómo funciona es lo que estamos tratando de explorar, por lo pronto, como verán mas abajo hay dos escenarios posibles, uno determinista y uno estocástico (aleatorio). En uno hay leyes establecidas que realizan la traza de todo el proceso, en el otro no hay trazabilidad, lo que tenemos es la emergencia, un producto nuevo, creado y recreado infinitamente y cada vez, y que cuya creación no solo es aleatoria sino totalmente gratuita.

Ahora entraremos de lleno en la explicación de Jana que parte justamente haciendo esta aclaración.

Ergodicidad, sistemas dinámicos y otras yerbas

Escrito por Jana Rodriguez Hertz

Fuente acá

En la segunda mitad del siglo XIX, Boltzmann introdujo el término ergódico en el contexto del estudio de las partículas de gas. Concretamente, su problema era estudiar cómo evoluciona un conjunto de partículas de gas en el tiempo según una ley determinada de movimiento, conservando la energía. Este tipo de problema es llamado determinístico, porque se conoce la ley del movimiento de cada partícula. Si nos concentramos en una sola partícula veremos que su movimiento a lo largo del tiempo va dibujando una curva. En un sistema determinístico, cada estado actual determina de forma única todos los estados futuros y pasados.

Esta situación está contrapuesta a los sistemas o procesos estocásticos, donde la relación entre cada estado actual y sus estados futuros o pasados es aleatoria. En un proceso estocástico las leyes de causa-efecto no están determinadas de forma única, sino que para cada estado actual hay una probabilidad de estado futuro o pasado.

Ejemplos de procesos estocásticos son la variación de ciertos precios en el mercado, la evolución del índice de la bolsa segundo a segundo, las señales de telecomunicación, etc.

Nosotros nos concentraremos, por el contrario, en sistemas dinámicos determinísticos, aquellos donde cada estado tiene un futuro y un pasado bien determinado por una ley conocida. Sin embargo, a pesar de lo que pueda parecer intuitivo, el hecho de conocer la ley del movimiento de cada partícula no significa que sea fácil determinar su paradero, y menos en los largos plazos. Veamos un ejemplo.

Negroni ergódico sin hielo

Negroni ergódico sin hielo

- Una parte de gin bien helado

· Una parte de Campari

· Una parte de Martini Rosso Preparar directamente en un vaso Old Fashioned. Primero echar el gin, y luego el Campari y el Martini.

Comenzamos a preparar el Negroni. Queremos rastrear qué pasa con la bebida de color. ¿Cómo evolucionan las partículas de la bebida de color dentro del vaso? Supongamos que empezamos a estudiar el sistema en el instante en que hemos terminado de agregar el Campari y el Martini. En el instante cero, éstas estarán cerca de la superficie, pero a medida que pasa el tiempo, las partículas coloreadas empiezan a recorrer todo el vaso, y luego de un rato ocurre que éstas podrían estar virtualmente en cualquier parte. Algo más o menos así:


Boltzmann creía que esencialmente lo mismo pasa con los gases. Por eso formula su famosa Hipótesis Ergódica (HE):

Al cabo de un período suficientemente largo de tiempo, la mayoría de las partículas se pueden encontrar en cualquier parte del espacio de fases(1) con igual probabilidad

Dicho en otras palabras, según la Hipótesis Ergódica de Boltzmann, si uno observa la evolución de una “mancha visible” en un período largo de tiempo, el "rastro" que ésta deja, es decir, el conjunto de sus todos sus estados,(2) terminan rellenando prácticamente todo el espacio de fases.(1) Decimos prácticamente, porque podría dejar de rellenar un punto, o una curva, o más en general un conjunto de medida cero, que carece de interés desde el punto de vista de un observador. Llamaremos ergódicos a los sistemas que cumplan la Hipótesis Ergódica.

Notemos que en el ejemplo del Negroni la mancha se diluía por todo el vaso. Esta propiedad se llama mixing. Los sistemas donde esto pasa son ergódicos. Sin embargo, un sistema puede ser ergódico sin que ésto pase. El único requisito es que el rastro, u órbita, de cualquier mancha visible termine cubriendo todo el espacio de fases. A continuación, vemos un ejemplo de un sistema dinámico ergódico donde las manchas visibles no se diluyen.


Evolución de una mancha visible Video 1


Evolución del rastro de la mancha Video 2

En este ejemplo, el espacio de las fases es una rosquita, lo que se llama toro bi-dimensional, y la ley del movimiento es una traslación, o sea un desplazamiento, que está marcada en la figura de abajo por las flechitas azules (campo vectorial).

Image

Desplazamiento de un toro bidimensional - Haga click en la imagen para extenderla

El ángulo que forman las flechitas con las "líneas verticales" del toro es irracional, o sea, no se puede escribir como una fracción. Eso es lo que provoca que el rastro de cualquier mancha visible se dsitribuya por todo el toro. Estudiaremos este fenómeno en otra nota.

Sin embargo, hay sistemas no ergódicos. En estos sistemas la evolución del rastro de una mancha visible queda confinada a una región del espacio, que no es todo.

Ejemplo de espacio de fases

Para fijar ideas, podríamos pensar en el espacio de fases como una pista de atletismo dividida en bandas, donde cada atleta corre sin salirse nunca del andanivel que le corresponde.

Podemos construir fácilmente un ejemplo de sistema no ergódico que tenga como espacio de fases(1) el toro bidimensional(3) (x) lo armamos de forma que la ley de movimiento sea a lo largo de las "líneas verticales" del toro. De este modo, todas las órbitas(4) son periódicas.(5)


Evolución de una mancha visible Video 3


Evolución del rastro de la mancha Video 4

En efecto, este movimiento se repite a lo largo del tiempo y para cualquier mancha inicial más o menos pequeña, pero visible, sólo rellena una banda del toro. Si el sistema fuera ergódico el rastro de la mancha terminaría rellenando prácticamente todo. Es, por lo tanto, no ergódico.

Agradecimientos

Quiero agradecer a Marcos Carbajo y a Federico Rodriguez Hertz por ejemplos y sugerencias. Agradezco especialmente a Marcos por su paciente insistencia en que haga esta nota.

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Hasta aquí Jana y su maravillosa explicación, solo nos queda decir que para el caso de una red social que considaráramos como campo y que a su vez cumpliera con la hipótesis ergódica, cada uno de sus integrantes, a su turno y esperando el tiempo suficiente tendrá una probabilidad de que justamente le llegue el turno. En un proceso eródico sí o sí debe sentarse a esperar su chance social ya que como las figuras en que iban dibujando el toro (Video 2) en un punto dado, después de un tiempo, completaban su tarea sin que quede porción del toro sin pintar.

Podemos imaginar los mensajes que circulan por la red como la figura que pinta el toro, tarde o temprano, con alguna probabilidad, el mensaje pasará por todos y cada uno de los miembros de la red y allí sí, tendríamos que retornar al paper de Vega Redondo, claro pero eso en un futuro post.


Actualización 18/002/2008 -21: 30


Mail de Jana

Dear Charlie,


He leído con interés tus 2 últimos posts. Te agradezco la prensa que me has hecho, y sobre todo tus comentarios :). La verdad es que nunca se me ocurrió pensar la ergodicidad aplicada a las redes sociales (los matemáticos solemos replegarnos en nuestras micro-áreas de trabajo). Por lo tanto mi conocimiento sobre eso es prácticamente nulo.

De todos modos, como opinar es gratis, acá va mi aporte: Según entendí en tu artículo De la modernidad a la complejidad, entre otras cosas analizás un paper de Vega Redondo, donde propone una terna de "axiomas" que definirían la dinámica de las redes sociales. Esta dinámica definida por (1)-(3) sería ergódica. Si bien esa dinámica no es del todo "determinística", concuerdo que definida de esa manera una red social quedaría ergódica. Ahora, no sé si concuerdo con la axiomática de Vega Redondo. Es cierto que hay muchas redes sociales que siguen esas 3 pautas (Volatilidad, Búsqueda y Creación de Vínculo, Renovación de vínculos inestables). Un ejemplo de esto es el comportamiento de los menores de 25 en Facebook o redes similares. Ahora, hay otras redes sociales que definitivamente no se mueven así. Es más hay ejemplos de redes sociales que no cumplen ninguna de las 3 pautas, y aún así son de alguna manera "estables".

Un concepto que en dinámica subyace por detrás de la ergodicidad es el concepto de medida. No lo incluí en el artículo para no hacerlo pesado. Creo que el axioma (0) de Vega Redondo es que todos los "nodos" de la red social son equiprobables, o sea, tienen la misma medida. Por eso en (1) y (2) armar y desarmar vínculos son con probabilidad independiente. Eso puede, o puede no ocurrir en una red social. O sea, no estoy diciendo que sea bueno ni malo, simplemente creo que VR propone un modelo de red social y lo estudia, tudo bem. Pero hay redes, que tienen su interés social, económico, afectivo, lo que sea, que no se comportan de esa manera. P. ej. tenés a tu hermano en una red, y por más que no haya un "intercambio" probablemente, mantengas el vínculo.
Bueno, fue un aporte más a la confusión general.

Muy divertido el blog.
De todos modos, estoy a las órdenes para cualquier cosa que pueda ayudar. Me parece un tema super-interesante. No sé a qué llamás sistemas complejos.
Abrazo
Jana

Gracias Jana por tu aporte
Glosario

· (1) espacio de fases: el conjunto de todos los estados posibles. En el ejemplo del cóctel, el espacio de fases es el conjunto de las posiciones dentro del vaso.

· (2) estado: también se puede llamar fase. Cada una de las posiciones posibles del sistema. En el ejemplo del cóctel, el conjunto de estados de una partícula de Campari es la curva que ésta va describiendo cuando se va moviendo dentro del vaso.

· (3) toro bidimensional: es una rosquita, como en la figura (x). Es una superficie, que se puede construir a partir de un cuadrado, pegando los lados opuestos. En el primer paso se obtendrá un cilindo, y en el segundo, la rosquita.

·(4) órbita: el conjunto de todos los estados que va teniendo un punto a lo largo de su evolución (en el futuro y en el pasado). Es la curva que va dibujando el punto en su evolución de acuerdo a la ley de movimiento.

· (5) periódico: es una órbita que después de un cierto tiempo (período) vuelve a pasar por el mismo lugar.


* Jana Rodriguez Hertz

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