El siglo de la fraternidad 8-Fractales, Power Laws y jerarquías –segunda parte

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A satirical drawing from 1811 of the 'Pigeon Holes' that flanked the upper gallery at Covent Garden

Hasta aquí tratamos de establecer una relación entre las PZM y los fractales. Definimos la dimensión fractal como una constante de proporcionalidad que nos posibilitaba el cambio de escala desde los múltiples casos diversos y dispersos para llegar a los casos más frecuentes, que pese a ser más populosos, son menos diversos.

Podemos entonces conceptuar a las PZM como una distribución que establece un sentido evolutivo desde lo mas frecuente, lo mas concurrido, a lo menos frecuentado, lo menos ocurrente, o su sentido inverso, que se podría describir como una forma fractal que se autogenera a partir de una reproducción de un mismo proceso divergente.

¿Pero qué significan sus ejes de coordenadas? El eje de las x, el eje horizontal, describe la diversidad, las posibles formas disponibles en que las se pueden organizar las y. El otro eje significa la cantidad de casos que tenemos cada x, la frecuencia con que ocurre x, y que luego de ordenarse se distribuirán de una forma particular que va desde una gran variedad de casos distintos con frecuencias de repeticiones muy escasas, al caso totalmente opuesto, grandes conglomerados reunidos alrededor de una muy escasa diversidad.

¿Qué es lo fijo y que es lo móvil de este gráfico? Si el eje de las x representa la diversidad de casos posibles, este dato estará condicionado por el contexto, habrá una determinada diversidad de casos posibles, el eje de las x estará así restringido, en un principio, a las disponibilidades que da el sistema. Representa la disponibilidad que ofrece la naturaleza ante las necesidades de los agentes. Esas disponibilidades son siempre finitas para esos agentes, dado que ellos se constituyen a partir de esos recursos que toman del entorno. Por lo que los agentes se yerguen en base a las disponibilidades que les ofrece la naturaleza y ante esta oferta dada ellos eligen donde posicionarse, y esta restringida distribución de necesidades en base a las posibles disponibilidades hace que el sistema se apile hacia un lado estableciendo una distribución de una forma muy desproporcionada. Recordemos que estamos en un espacio tiempo todavía matriarcal, pre edípico, donde todavía no se ha constituido el sistema económico, donde de lo que hay, hay de todo y en abundancia.

En este sistema los recursos están disponibles de una manera pre determinada (eje de las x) y fluyen libremente para cubrir las necesidades de los agentes que a su vez se agrupan en base a conglomerados de diferentes magnitudes de acuerdo a la disponibilidad de la que se trate. Y aquí viene el problema.

Si, como se vio en el primer capítulo, lo social se instituía en base a lo común, acá vemos que lo común (la totalidad de las disposibilidades ofrecidas al conjunto de agentes a lo largo del eje de las x) no tiene la menor posibilidad de distribuirse equitativamente dado que no tiene nisgún simetría de ningún tipo en su diversidad. ¿Cómo sería posible entonces distribuir lo común; finito y cuantificado en base una dispersión determinada, entre una población de agentes demandantes condicionados por sus necesidades materiales?

 

Con lo primero que nos encontramos es con una distribución que no es ni pareja, ni equitativa, ni aleatoria, ni simétrica y a partir de este dato de la realidad nuestra necesidades reales se deben adaptar a las disponibilidades realmente existentes. Esto de por sí no es muy preocupante luego de miles de años de selección natural. Somos lo que somos en base a las posibilidades de la disponibilidad de nuestro entorno. Estamos constituidos en base a esas disponibilidades. Acaso podríamos sobrevivir en una atmósfera sin oxígeno, tal vez sí pero sería muy difícil.

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Foto de acá

Esta idea se podría conceptializar como un casillero de cartas a donde llega la correspondencia de una determinada manera, en donde algunos poseen mucha correspondencia, otros menos y algunos no tienen nada. Sin embargo al ver la foto del casillero solemos obviar que esa distribución está en concordancia con su destinatario, dado que se ubica en el buzón en base a un determinado destinatario acorde a la “necesidad” de correspondencia del dueño del casillero, por lo que en definitiva no importa la forma en que la correspondencia se distribuya en los casilleros sino la necesidad de correspondencia con sus destinatarios. Hay una relación directa entre correspondencia y destinatario que establece un flujo de cartas entre los dos que se podría visualizar como un árbol fractal con el tronco en el correo y su copa en casillero de las cartas. Un árbol con copa desproporcionada y caprichosa que estará en concordancia la demanda de envíos que hacen los destinatarios.

 

Desde la óptica  de los constructivistas radicales (Paul Watzlawick, Ernst Von Glasersfeld, Humberto Maturana, etc) esto podría ser analizado como un casillero que se conforma en base a las necesidades de correspondencia de los destinatarios, sin destinatarios el casillero no tendría razón de ser. Sin embargo no se tiene en cuenta la cuestión de la magnitud del número de cartas que hay en cada casillero. Hay una presuposición que la distribución de las cartas es “aleatoria” para todos los casilleros. También Stuark Kaufmann cuando nos habla de una “sopa primordial” a partir de donde evolucionan los sistemas,  en donde los elementos primitivos a partir de los cuales se constituirán se encuentran distribuidos al azar, tampoco nos habla de la distribución relativa.

De lo que no se habla es de la disponibilidad de esos elementos primitivos. Porque una cosa es que la distribución espacial de dicha disponibilidad sea aleatoria, pero esto no quiere decir que las cantidades relativas estén equilibradas.

Estamos constituidos a partir de replicar el cosmos en nuestros cuerpos, como afrima Stefan Widmer. Nuestros cuerpos emergieron y evolucionaron a partir de las disponibilidades realmente existentes en la naturaleza. Nuestros nutrientes tampoco están distribuidos equitativamente, y en consecuencia de esto que necesitamos de unos elementos más que de otros. Con todos los organismos vivos pasa esto, dentro de la alimentación existen algunas sustancias sin las cuales no podríamos vivir, pese a que nuestros organismos solo necesiten trazas de esos elementos, se los denomina justamente oligoelementos, oligo quiere decir poco.

Sin embargo los fractales junto a las distribuciones PZM forman un conjunto de representación que tiene en cuenta no solo la estructura de flujo sino que también la tensión que se produce entre necesidades y disponibilidades, que por otro lado es la causante de los flujos.

 

Esto nos lleva a entender que esa desproporción de demanda de la diversidad para satisfacer las necesidades de los agentes estará en concordancia, también en un principio, con la magnitud de las disponibilidades del entorno. Pero esa necesidad crece en complejidad a medida que el sistema social avanza evolutivamente y a medida que lo hace los humanos logran, mediante el desarrollo de su inteligencia racional, descontruir la complejidad creciente mediante mecanismos que posibilitan, al menos en la fantasía, reducirla.

Ante la curva cruel y fija de disponibilidades, el ser humano solo puede moverse en los espacios permitidos por sus recursos naturales. Ante la falta de alguno, especialmente los más vitales como el agua, corre serios riesgos de supervivencia; sin embargo posee la razón para resolver este tipo de problema sin necesidad de considerar la posibilidad de exención de buena parte de la comunidad como solución fatalista. Ante la carestía, faltantes, defecto de algún recurso es obvio que un sistema social humano deberá reaccionar racionando los escasos recursos en forma equitativa para llegar a la mayor población demandante. Por lo que de esta manera fantástica la razón se opone a la naturaleza. La razón inventa simetrías inexistentes que posibilitan la distribución equitativa de esos recursos naturalmente escasos.

Esto nos lleva a hablar de los flujos. En realidad analizar una curva PZM es una forma de interpretar y ver un problema de una manera orientada a los cambios de escala y a la relación entre número y frecuencia con respecto a diversidad, analizar el mismo problema desde los fractales correspondientes a PZMs es verlo desde otro punto de vista que pone en evidencia el problema de los flujos.

En realidad flujo es la manifestación de un movimiento relativo, algo moviéndose en relación a un marco al que en general se lo mantiene fijo. El árbol fractal es la representación de la traza que realizan esos flujos desde lo mas a lo menos, desde le tronco hasta las hojas (o el sentido inverso). En el caso de los sistemas sociales estos flujos tienen que ver con: a) los recursos materiales que permiten el metabolismo (controlados por el sistema límbico o autónomo del sistema nervioso), b) los flujos emocionales, que tienen que ver con el sistema periféricos y están en relación con las interacciones emocionales que tejen los agentes entre sí, c) y los flujos del lenguaje racional que tienen que ver con los flujos de información que maneja la parte del cerebro que tiene que ver con el neocortex. La complejidad de este sistema de flujos que se establece entre los humanos, que son analizados por las tres capas del sistema nervioso, hace que los vínculos en una red de interacciones humanas se establezcan en capas de complejidad creciente.

En este punto es bueno discriminar entre el modelo propuesto por West et all y el modelo propuesto por la Ley Constructal de Adrián Bejan. Como se vio en el modelo de West se considera a las punteras del arbol, hojas, capilares, alvéolos, como un remate que hace el fractal natural para no seguir reproduciéndose infinitamente. En un determinado punto de la amplificación la regla fractal en la naturaleza este proceso se detiene y genera una puntera que no corresponde a la evolución fractal del árbol y termina ocluyendo su proceso de crecimiento (segundo principio). El modelo de la ley constructal en este sentido es mas explicito dado que comienza su análisis desde este elemento de punta y en esa punta analiza cual es la mejor ecuación de fraccionamiento del fractal para dar como resultado la mejor (en ese punto) relación entre dispersión del flujo y resistencia al avance. Predice, por ejemplo, que el mejor número de fraccionamiento del árbol traqueal para llegar al alvéolo (puntera) es de 29 fracciones, dado que es justamente ese número el que prevé la mejor relación para que el oxígeno pase de su fase gaseosa a la sangre, dato que se corrobora en todo árbol traqueal. En el caso de la cuenca de los ríos, estudia la mejor relación de superficie captora capaz de tributar en una corriente mayor y así todas esas pequeñas punteras desembocan en el cause del río.

Nosotros proponemos un camino intermedio ya que creemos que ambos tienen razón. Desde la óptica de West et all, se parte de un concurrencia en el tronco que se dispersa en un flujo con forma de árbol fractal que se reproduce hasta un determinado punto a que consideran como excepción a la regla y fin de la abstracción (infinita) matemática. El caso de Adrian Bejan realiza el análisis en sentido inverso. Se sitúa en la puntera y analiza allí cómo hacer posible que los flujos provenientes del árbol fractal fluyan hasta ese punto de manera mas fácil y a partir de esa forma primitiva construye el arbol en sentido inverso al grupo West. Pero lo que no tiene en cueta Bejan es que esas condiciones con las que calcula la mejor ecuación de flujo para la puntera es para el momento el punto y las condiciones de entorno del momento en que se haga el análisis. Nadie sabe como hubiesen sido los pulmones en alguna atmósfera mas sulfurosa, por ejemplo, por lo que su conclusión es válida para esta atmósfera que tiene una disponibilidad de CO2 y O2 determinada, y no para otra con mas azufre, por ejemplo. Un modelo está mas centrado en la forma fractal y en las disponibilidades y no resuelve el tema de las punteras, el otro se hace fuerte para resolver las ecuaciones de mecánica de los fluidos pero sin considerar la disponibilidades pasadas y futuras del sistema.

En consecuencia es necesario asociar a nuestro árbol fractal una PZM correspondiente y veremos que, aceptando una mínima concurrencia de las necesidades hacia las disponibilidades,  existe un flujo desde lo mayor a lo menor, desde un centro parcialmente clusterizado hacia una periferia descentralizada.

Esta concurrencia de necesidades dará para muchísimas discusiones pero este tipo de “jerarquía” de las disponibilidades no es propia de los humanos sino es una característica del cosmos y como tal debemos respetarla dado que tiene la lógica restricción material que es necesaria para que los cuerpos puedan subsistir con vida.

Diagrama de concurrencia

 diagrama de arbol

¿Esto quiere decir que 0 es un Hub? En cierta medida si y en cierta medida no. Cuando hablamos de red distribuida como dimensión fractal o topológica (en las definiciones de Luque y Agea) de una red social humana, no estamos hablando de una red totalmente distribuida con coeficiente de clusterización = 1 sino que hablamos de una red con un grado de distribución (un cc alrededor de 60%) mayor al grado de centralidad que presenta. Esto quiere decir una red que mantiene una proporción de enlaces reales sobre los enlaces posibles del 60% una vez retirado el nodo mas conectado.

 

Escapa al alcance de este trabajo calcular las necesidades de un agente cualquiera (dato que quedaría por corroborarse teóricamente), pero podríamos suponer como válido el Número de Dumbar como número máximo de agentes dentro de una red de interacción directa y seis el máximo grado de separación entre los mismos, ambos surgidos del la constatación empírica. Esto quiere decir que para que los flujos lleguen a un miembro X de una comunidad de interacción directa, dicha comunidad no debería superar el Número de Dumbar de sus miembros ni estar separados unos de otros más que seis saltos, dado que el sistema nervioso humano no podrá manejar (en sus tres niveles de control de flujos) ni un número mayor de miembros, ni una distancia social mayor.

Este dato es una media y se basa en los datos que aporta la naturaleza, no quiere decir que la grafía de todas las redes sociales humanas de interacción directa tengan esta grafía, o que la grafía que presentan sea para toda la eternidad, pero como dicta la Ley constructal tender hacia esta grafía significa facilitar la circulación de los flujos para que esto puedan fluir más fácilmente.

 

Consideraciones:

1                    Hay  nk ramas a nivel k

2                    La paredes de las venas son rígidas, de radios rk

3                    Se conserva el volumen del fluido

4                    El diámetro de los capilares está dado

5                    La potencia de bombeo está minimizada

Conclusiones:

Radio relativo rk largo k escalar con n, y n es el mismo en cada nivel  de ram

1.      Tasa metabólica B =αM.75

2.      Esta regle de escala deviene en muchas otras con aplicaciones diversas.

 

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Geoffrey B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist, a huge range of body sizes� “A General Model for the Origin of Allometric� Scaling Laws in Biology,”� Science Vol. 276 4 April 1997, p 122� Internal Structure 4/6/06 © Daniel E Whitney� 19

 

Luego de este complejo y abstracto recorrido llegamos a conclusiones sorprendentes, dado que no estamos analizando sistemas biológicos como los descriptos donde la evolución de un diseño tarda muchísimo tiempo, miles de años. Nosotros estamos hablando de organizaciones sociales entre seres humanos.

Para entender lo que queremos decir nos debemos concentrar en el Δx que habíamos ampliado de nuestra curva Power Law.

 

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A lo largo de toda la curva  (de cualquier Δx) para cada Δx encontraremos un Δy >0, eso es típico de la curva y nos habla en qué punto de la concurrencia de la curva nos encontramos con el Δx. A mayor Δy, estaremos en la porción de la curva donde las necesidades son mayores para cada Δx, a medida que Δy decrece la curva se hace mas pareja y la necesidades se hace mas semejantes.

Por lo que para cada b tendremos un a con mayor concurrencia, esto quiere decir que son mayores las necesidades en a que en b y esa diferencia de necesidades será la responsable de la estabilidad de mi Δx.

Tampoco vemos la forma de estabilizar equitativamente esta distribución ya que no existe simetría posible, o más precisamente a mayor Δy menores serán las posibilidades de establecer repartos equitativos. Esto hace que los flujos sean mayores del lado de a que del lado de b, dada la desigualdad de a con b, por lo que el sistema deberá compensar esa diferencia vehiculizando con mayor facilidad los flujos cercanos a a que a los de b, por lo que la actividad del lado de a de la pared del diferencial será mucho mas activa que la de b. Todo esto sin dejar de tener en cuenta que esto es solo una porción de la curva para una condición de disponibilidad dada y en un tiempo dado.

Como conclusión y transportados al diagrama de árbol vemos que la parte mas solicitada (compartida por mas usuarios) de Δx es la parte correspondiente al tronco (el lado de a), la parte mas libre es su lado opuesto, donde las ramas son menos concurridas, menos solicitadas por lo que están mas libres. Por eso para cada Δx podemos considerar una parte del follaje del árbol en donde el margen derecho del Δx, correspondiente a la parte mas cercana a las punteras de árbol, son las partes mas libres del follaje y  podemos tener PZM diversas que compartan la misma porción Δx e inclusive dentro de la misma PZM podríamos establecer categorías tales que el Δy posibilite una determinada o pactada similitud entre agentes.

Por eso para cada Δx tendremos una porción a de la curva mas concurrida y solicitada y por ende rigidizada y una porción b de la curva, mas novel en donde los agentes están mas libres, incluso si dividiéramos el Δx en dos mitades iguales  la mitad que contiene a a será mas dispar que la porción que quede del lado de b por la propia forma de la curva, del lado de b las similitudes son mayores que del lado de a, Esto se repite a lo largo de toda la curva y para cualquier porción.

Entonces es propicio traer aquello que citábamos de  Peter Winiwarter en el capítulo 3 referente a su figura que llamaba jerarquía de tres niveles

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Figura. La jerarquía de tres niveles de la distribución de Pareto-Zipf-Mandelbrot PZM: unidades procesamiento locales (pequeños puntos), clases de unidades de procesamiento (círculos punteados) y sistema de interacción global (círculo grueso)

La porción cercana a a de nuestro Δx representa la clase que contiene lo que él llama unidades procesamiento locales que son los agentes mas libre del lado derecho del Δx. Este dispositivo se replica fractalmente y en conjunto conforman sistema. Por motivos de grados de libertad del árbol y de la curva las unidades de procesamiento locales, los agentes, tienen mayor posibilidad de movilidad que las porciones mas cercana al tronco del árbol. Esta rigidez es creciente y se incrementa hasta ser casi inamovible, ya que el sistema solo se interrelaciona con otros sistemas y con el entorno, por lo que solo cambiará cuando un factor exógeno así lo determine.

Entonces quedan claras las dos solicitudes que hacen ambos modelos al sistema. Para sistemas establecidos con entornos estabilizados (ley constructal), éste evolucionará internamente en la dirección que los flujos lleguen de la manera mas fácil hasta los agentes. Para entornos cambiantes, el árbol no dudará en dar nuevas ramas extendiendo su fractal mas allá de la suerte que corran los agentes mas extremos.

Si de este capítulo queda clara esta idea, es suficiente por ahora. En el próximo capítulo analizaremos cada parte de la curva aplicándola específicamente para un sistema social de interacción directa. La fraternidad es la forma que toma la clase para que hace posible que lleguen los flujos a los puntos mas extremos de la comunidad de una manera sustentable en el tiempo. Pero eso en el próximo capítulo.

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